Bài này sẽ hướng dẫn các em cách giải dạng toán: Tìm x để biểu thức nguyên, qua đó vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để các em dễ hiểu hơn.
Ι. Cách giải bài toán: Tìm x để biểu thức nguyên
• Để tìm x để biểu thức nguyên ta cần thực hiện các bước sau:
+ Bước 1: Tìm điều kiện của x (phân số thì mẫu số phải khác 0).
+ Bước 2: Nhận thấy dạng bài toán để có cách giải tương ứng
– Nếu tử số không chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết.
– Nếu tử số chứa x, ta dùng dấu hiệu chia hết hoặc dùng phương pháp tách tử số theo mẫu số.
– Với các bài toán tìm đồng thời x, y ta nhóm x hoặc y rồi rút x hoặc y mang về dạng phân thức.
+ Bước 3: Áp dụng các tính chất để giải quyết bài toán tìm thấy lời giải.
II. Bài tập Tìm x để biểu thức nguyên
* Bài tập 1: Tìm x để biểu thức ? nhận giá trị nguyên: 
> Lời giải:
– Điều kiện: x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
– Để ? nguyên thì 3 chia hết cho (x – 1) hay (x – 1) là ước của 3
tức là: (x – 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}
Với: x – 1 = -3 ⇒ x = -2
x – 1 = -1 ⇒ x = 0
x – 1 = 1 ⇒ x = 2
x – 1 = 3 ⇒ x = 4
Hoặc ta có thể lập bảng như sau:
x – 1
-3
-1
1
3
x
-2
2
4
Các giá trị của x đề thỏa, vậy ta tổng kết:
Để ? nhận giá trị nguyên thì x thỏa: x ∈ {-2; 0; 2; 4}
* Bài tập 2: Tìm x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 
* Lời giải:
– Điều kiện: x ≠ 1
+) Cách 1: Bài toán dạng phân thức tử số chứa biến x, nên ta có thể tách tử số theo mẫu số như sau:
Để Ɓ nguyên thì 
là số nguyên hay 3 chia hết cho (x – 1) hay (x – 1) là ước của 3, tức là: (x – 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}.
Theo bài tập 1, ta có:
x – 1
-3
-1
1
3
x
-2
2
4
Vậy để Ɓ nhận giá trị nguyên thì x thỏa: x ∈ {-2; 0; 2; 4}
+) Cách 2: Dùng dấu hiệu chia hết, các bước thực hiện:
ι) Tìm điều kiện.
ii) Tử 
mẫu và Mẫu mẫu; nhân thêm hệ số rồi dùng tính chất chia hết một tổng, một hiệu.
Ta có: (x – 1) (x – 1) nên 2(x – 1) (x – 1) (*)
Để Ɓ nguyên thì (2x + 1) (x – 1) (**)
Từ (*) và (**) suy ra: (2x + 1) – 2(x – 1) (x – 1)
⇔ 3 (x – 1) suy ra (x – 1) ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}
x – 1
-3
-1
1
3
x
-2
2
4
* Bài tập 3: Tim x để biểu thức ₵ nhận giá trị nguyên: 
> Lời giải:
– Điều kiện: 2x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1/2 (x ∈ Ż)
– Ta có: 
Hay (6x + 4) – (6x + 3) (2x + 1) ⇒ 1 (2x + 1)
⇒ (2x + 1) ∈ Ư(1) = {-1; 1}
Với 2x + 1 = -1 ⇒ x = -1 (thỏa)
Với 2x + 1 = 1 ⇒ x = 0 (thỏa)
Vậy với x = 0 (khi đó ₵ = 2) hoặc x = -1 (khi đó ₵ = 1) thì biểu thức ₵ nhận giá trị nguyên.
* Bài tập 4: Tim x để biểu thức ? nhận giá trị nguyên: 
> Lời giải:
– Nhận xét: Ta thấy tử số và mẫu số của ? có chứa x, mà hệ số trước x ở tử là 6 lại chia hết cho hệ số trước x ở mẫu là 2, nên ta dùng phương pháp tách tử số thành bội của mẫu số để giải bài này.
– Điều kiện: 2x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 (x ∈ Ż)
– Ta có: 
(*7*)
Như vậy để ? nguyên thì 
nguyên
Suy ra: 1 chia hết cho (3x + 2) hay (3x + 2) ∈ Ư(1) = {-1; 1}
Với 3x + 2 = -1 ⇒ 3x = -3 ⇒ x = -1 (thỏa)
Với 3x + 2 = 1 ⇒ 3x = -1 ⇒ x = -1/3 ∉ Ż (loại)
Vậy với x = -1 (khi đó ? = 1) thì ? nhận giá trị nguyên.
• Tìm giá trị nguyên với biểu thức dạng: ax + bxy + cy = {d} ta làm như sau:
+ Bước 1: Nhóm các hạng tử xy với x (hoặc y)
+ Bước 2: Đặt nhân tử chung và phân tích hạng tử sót lại theo hạng tử trong ngoặc để mang về dạng tích.
* Ví dụ: Tìm x, y nguyên sao cho: xy + 3y – 3x = -1
> Lời giải:
– Ta có: y(x + 3) – 3x + 1 = 0 [Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y và đặt nhân tử chung là y]
⇔ y(x + 3) – 3(x + 3) + 10 = 0 [phân tích -3x + 1 = -3x – 9 + 10=-3(x + 3) +10]
⇔ (x + 3)(y – 3) = -10
Như vậy có các khả năng xảy ra sau:
(x + 3) = 1 thì (y – 3) = -10 ⇒ x = -2 và y = -7
(x + 3) = -10 thì (y – 3) = 1 ⇒ x = -13 và y = 4
(x + 3) = 2 thì (y – 3) = -5 ⇒ x = -1 và y = -2
(x + 3) = -5 thì (y – 3) = 2 ⇒ x = -8 và y = 5
Ta có thể lập bảng dễ tính hơn khi x, y có nhiều giá trị.
x + 3
1
-10
2
-5
y – 3
-10
1
-5
2
x
-2
-13
-1
-8
y
-7
4
-2
5
Tìm số nguyên x để biểu thức ? có giá giá trị nguyên. Cách làm cực dễ hiểu