Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Với Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải sẽ giúp học viên nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập
từ đó có plan ôn tập hiệu quả để đạt thành tích cao trong các bài thi môn Toán 12.

                            Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

A. LÝ THUYẾT.

1. Khái niệm.

Cho hàm số y = f(x) xác nhận trên K, với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn.

– Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀ x1, x2∈ K, x1 < x2⇒ f(x1) < f(x2).

– Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀ x1, x2∈ K, x1 < x2⇒ f(x1) > f(x2).

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f'(x) ≥ 0, ∀ x ∈ K 

– Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f'(x) ≤ 0, ∀ x ∈ K.

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu.

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.

– Nếu f'(x) > 0, ∀x ∈ K thì hàm số đồng biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) < 0, ∀x ∈ K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K.

– Nếu f'(x) = 0, ∀x ∈ K thì hàm số không đổi trên khoảng K.

Lưu ý

– Nếu f'(x) ≥ 0, ∀x ∈ K (hoặc f'(x) ≤ 0, ∀x ∈ K) và f'(x) = 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K).

B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

Phần I. Các bài toán không chứa tham số.

Dạng 1: Sử dụng đạo hàm để xác nhận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bước 1. Tìm tập xác nhận D.

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f'(x). Tìm các giá trị xi (i=1, 2, .., n) mà tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác nhận.

Bước 4. Sắp xếp các giá trị xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 5. Nêu tổng kết về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số và chọn lời giải chuẩn xác nhất.

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 9x – 7  . Nhất định nào sau đây là nhất định sai?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1) .

B. Hàm số đồng biến trên (-9;-5).

C. Hàm số đồng biến trên R.     

D. Hàm số đồng biến trên (5;+∞).

Lời giải

Tập xác nhận: D = R. 

Ta có: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Tổng kết: Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞;-3),(1;+∞) . Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1)

Chọn C.

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y = -x4 + 2×2 – 4 là

A. (-1;0) và (1;+∞)                                  B. (-∞;1) và (1;+∞) 

C. (-1;0) và (0;1)                                     D. (-∞;1) và (0;1) 

Lời giải

Tập xác nhận: D = R. 

Ta có: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Tổng kết: Hàm số đồng biến trên các khoảng: (-∞;1), (0;1) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng: (-1;0), (1;+∞) 

Chọn A.

Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác nhận của nó.

B. Hàm số đồng biến trên tập xác nhận của nó.

C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác nhận của nó.

D. Hàm số nghịch biến trên tập xác nhận của nó.

Lời giải

Tập xác nhận: D = R{-2} .Ta có: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác nhận của nó.

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Tổng kết: hàm số đồng biến trên từng khoảng xác nhận.

Chọn C.

Ví dụ  4. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Nhất định nào sau đây là khẳng đúng

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trên khoảng (-2;2) 

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2) 

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;2) 

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

Lời giải

Tập xác nhận: D = (-∞;2] .

Đạo hàm: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Tổng kết: hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải với x ∈ [0;π] . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên [0;π]              B. Hàm số nghịch biến trên [0;π]

C. Hàm số nghịch biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giảiD. Hàm số nghịch biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lời giải

Tập xác nhận: D = [0;π] 

Đạo hàm: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bảng biến thiên

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số y = -x3 + 3×2 – 3x + 2. Nhất định nào sau đây là nhất định đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến trên R.

B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;+∞).

D. Hàm số luôn đồng biến trên R.

Câu 2. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên R?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 3. Hỏi hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghịch biến trên các khoảng nào ?

A. (-∞;-4) và (2;+∞).           B. (-4;2) .

C. (-∞;-1) và (-1;+∞)          D. (-4;-1) và (-1;2).

Câu 4. Hỏi hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng nào?

A. (-∞;0).               B. R.              C. (0;2).              D. (2;+∞).

Câu 5. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Hỏi hàm số luôn đồng biến trên R khi nào?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 6. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải Nhất định nào sau đây là nhất định sai?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;0); (2;3)

C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;0); (2;3)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (2;3)

Câu 7. Cho các hàm số sau: 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác nhận?

A. 2.            B. 4.            C. 3.            D. 5.

Câu 8. Cho các hàm số sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?

A. (I), (II).                       B. (I), (II) và (III).  

C. (I), (II) và (IV).           D. (II), (III).

Câu 9. Xét các mệnh đề sau:

 (I). Hàm số y = -(x – 3)3 nghịch biến trên R.

(II). Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên tập xác nhận của nó.

(III). Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên R.

Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng?

A. 3.            B. 2.            C. 1.            D. 0.

Câu 10. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Nhất định nào sau đây là nhất định đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-2) và đồng biến trên khoảng (-2;2)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và nghịch biến trên khoảng (-2;2).

C. Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1;2)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;1) và đồng biến trên khoảng (1;2)

Câu 11. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Chọn phát biểu đúng:

A. Luôn đồng biến trên R.        

B. Luôn nghịch biến trên từng khoảng xác nhận.

C. Đồng biến trên từng khoảng xác nhận.

D. Luôn nghịch biến trên R.

Câu 12. Cho hàm số y = -x3 + 3×2 + 2021. Khoảng đồng biến của hàm số này là

A. (0;+∞).             B. (-∞;0).               C. (2;+∞).                 D. (0; 2).

Câu 13. Cho hàm số: f(x) = -2×3 + 3×2 + 12x -1. Trong các mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai:

A. f(x) nghịch biến trên khoảng (5;10).        B. f(x) giảm trên khoảng (-1; 3)

C. f(x) nghịch biến trên khoảng (-3; -1)       D. f(x) đồng biến trên khoảng (-1; 1)

Câu 14. (ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017). Hàm số nào đồng biến trên khoảng (-∞;+∞)

A. y = -x3 – 3x .      B. y = x3 + x Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 15. Tập xác nhận của hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải là:

A. D = R{-1}               B. D = R.               C. R.               D. R

Câu 16. Nhất định nào sau đây sai?

A. Hàm số y = 2x + cosx luôn đồng biến trên R.

B. Hàm số y = -x3 – 3x + 1 luôn nghịch biến trên R

C. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác nhận.

D. Hàm số y = 2×4 + x2 + 1 luôn nghịch biến trên (-∞;0).

Câu 17. Cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (0;2).                B. (0;1).                    C. (1;2).                D. (-1;1).

Câu 18Hàm số nào sau đây đồng biến trên  ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 19. Cho y = 2×4 – 4×2. Hãy chọn mệnh đề sai trong bốn phát biểu sau:

A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( -∞; -1) và (0;1).

B. Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (1;+ ∞).

C. Trên các khoảng (-∞;-1) và (0;1), y’ < 0 nên hàm số nghịch biến.

D. Trên các khoảng (-1;0) và (1;+ ∞), y’ > 0 nên hàm số đồng biến.

Câu 2. (ĐỀ THPT QG 2017)  Hàm số nào sau đây đồng biến trên R.

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Giải đáp

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

A

C

D

B

A

B

C

A

A

C

C

D

B

B

D

C

C

B

B

D

Dạng 2: Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số của hàm số f’(x), xác nhận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số đã cho.

1. Phương pháp giải.

– Dựa vào bảng biến thiên có sẵn, tổng kết khoảng đồng biến, nghịch biến và chọn lời giải đúng.

– Từ đồ thị hàm số của hàm số f’(x), ta có:

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó giá trị f'(x) > 0 (nằm phía trên trục hoành).

+ Khoảng đồng biến của hàm số là khoảng mà tại đó f'(x) < 0 (nằm phía dưới trục hoành).

Xét bài toán: Cho bảng biến thiên của hàm số f’(x). Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x) theo f(x).

– Các bước giải:

Bước 1: Ta tính đạo hàm g'(x) 

Bước 2: Phối hợp các phép tắc xét vết tích, thương, tổng (hiệu) và bảng biến thiên của f’(x) để có được bảng xét dấu cho g'(x)

Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu của g'(x) vừa có để tổng kết về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số g(x).

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = -2018.f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

A. (-∞;0)               B. (1;+ ∞)               C. (0;+ ∞)             D. (-∞;1)

Lời giải

Đặt g(x) = -2018.f(x), ta có: g'(x) = -2018.f'(x).

Xét g'(x) = -2018.f'(x) ≥ 0 ⇔ f'(x) ≤ 0 ⇔ x ≥ 1

Vậy hàm số y = -2018.f(x) đồng biến trên khoảng (1;+ ∞) 

Chọn B.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên [-3,3] và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào?

A. (2;3).               B. (0;2)               C. (-1;0).             D. (-3;-1)

Câu 2. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (1;+ ∞)                   B. (-1;1) .               C. (0;1)                  D. (-1;0) .

Câu 3. Cho hàm số y = f(x). Biết f(x) có đạo hàm là f'(x) và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Tổng kết nào sau đây là đúng?

A. Hàm số y = f(x) chỉ có hai điểm cực trị.

B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (1;3). 

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;2)

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (4;+ ∞)

Câu 4. Cho hàm số f(x) xác nhận trên R và có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ.

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

 Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;2); (0;+ ∞).

B. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-2;0)  

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-3;+ ∞) 

See also  Cập nhật bảng màu son Bbia đầy đủ và mới nhất 2021

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;0).

Câu 5. Cho hàm số f(x) xác nhận trên R và có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-4,2) 

B. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (-∞;-1)  

C. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (0,2) 

D. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;-4) và (2;+ ∞) 

Câu 6. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác nhận, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Nhất định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên (1;+ ∞)

B. Hàm số đồng biến trên (-∞;-1)  và (3;+ ∞) 

C. Hàm số nghịch biến trên (-∞;-1)  

D. Hàm số đồng biến trên (-∞;-1) ∪ (3;+ ∞)

Câu 7.  Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) xác nhận, liên tục trên R và f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Nhất định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1)  

B. Hàm số f(x) đồng biến trên (-∞;1) và (1;+ ∞) 

C. Hàm số f(x) đồng biến trên (1;+ ∞) 

D. Hàm số f(x) đồng biến trên R 

Câu 8. Cho hàm số f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e (a ≠ 0). Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là f'(x) và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ bên. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Khi đó nhận xét nào sau đây là sai?

A. Trên (-2,1) thì hàm số f(x) luôn tăng.

B. Hàm f(x) giảm trên đoạn [-1,1]

C. Hàm f(x) đồng biến trên khoảng (1;+ ∞)

D. Hàm f(x) nghịch biến trên khoảng (-∞;-2)

Câu 9. Cho hàm số y = f(x) liên tục và xác nhận trên R. Biết f(x) có đạo hàm f'(x) và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Nhất định nào sau đây đúng?

A. Hàm số f(x) đồng biến trên R 

B. Hàm số f(x) nghịch biến trên R  

C. Hàm số f(x) chỉ nghịch biến trên khoảng (0,1) 

D. Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (0;+ ∞)

Câu 10. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

 Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;0)                B. (-∞;0)

C. (1;+∞)              D. (0;1)

Giải đáp

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

D

C

B

C

B

B

C

B

C

D

Dạng 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm hợp.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Cho hàm y = f(x) hoặc hàm y = f'(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)).

Phương pháp: 

– Tính đạo hàm g'(x) = f'(u(x)).u'(x)

– Xét dấu g'(x) dựa vào dấu của f'(u(x)) và u'(x) theo quy tắc nhân dấu.  Lưu ý khi xét dấu f'(u(x)) dựa vào dấu của f'(x) như sau: Nếu f'(x) không đổi dấu trên D thì f'(u(x)) không đổi dấu khi u(x) ∈ D.

Bài toán 2: Cho hàm y = f(x) hoặc y = f'(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x)

Phương pháp: 

– Tính g'(x) = f'(u(x)).u'(x) + h'(x) 

– Lập bảng xét dấu g'(x) bằng cách cộng dấu của hai biểu thức f'(u(x)).u'(x) và h'(x) 

Bài toán 3: Cho hàm y = f(u(x)) hoặc hàm y = f'(u(x)) xét sự biến thiên của hàm y = f(x)

Phương pháp: Giả sử ta có: f'(u(x)) > 0 ⇔x ∈ D. Ta cần giải BPT f'(x) > 0

– Đặt t = u(x) => x = v(t) 

– Giải bất phương trình: f'(t) > 0 ⇔ f'(u(x)) > 0 ⇔x ∈ D ⇔ x = v(t) ∈ D ⇔ t ∈ D’

– Vậy  f'(t) > 0 ⇔ x ∈ D’ 

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) , bảng xét dấu của f'(x) như sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số f(5 – 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2;3).                         B. (0;2).                     

C. (3;5).                         D. (5;+∞).

Lời giải

Ta có y = f(5 – 2x) → y’ = -2f'(5 – 2x)  

Hàm số nghịch biến khi y’ = -2f'(5 – 2x) ≤ 0 ⇔ f'(5 – 2x) ≥ 0

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Nên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải  

Vậy hàm số y = f(5 – 2x) nghịch biến trên các khoảng (3,4) và (-∞;2)

Chọn B

Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm f'(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số g(x) = f(x2 – x) đồng biến trên khoảng nào?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lời giải

Ta có: g(x) = f(x2 – x) => g'(x) = (2x – 1)f'(x2 – x)

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Từ đồ thị f'(x) ta suy ra f'(x) > 0 ⇔ x > 2   

Do đó : Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

 (Ta cần xác nhận một loại dấu của )

Bảng xét dấu g'(x): 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Từ bảng xét dấu ta có hàm số g(x) đồng biến trên khoảng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn C.

Lưu ý: Dấu của g'(x) ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức (2x – 1) và f'(x2 – x) 

Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (5;+∞)                            B. (-∞;-1)       

C. (-1,0)                             D. (0,2)

Lời giải

Ta có y’ = 3f'(x + 2) – 3×2 + 3 = 3[f'(x + 2) + (1 – x2)] 

Xét f'(x + 2) = 0 ⇔ x + 2 ∈ ⇔ x ∈ {-1,0,1,2}

Xét 1 – x2 = 0 ⇔ x = 1, x = -1

Lại có: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bảng xét dấu 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng (-1,0) hàm số đồng biến. 

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Hàm số y = f'(3x – 1)  có đồ thị như hình vẽ:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (2,6)                             B. (-∞;-7)       

C. (-∞;-6)                         D. Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lời giải

Ta cần giải BPT dạng f'(x) > 0.

Ta có Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Đặt Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Do đó: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Vậy Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn B.

Ví dụ 5.  Cho hàm số y = f(x) có Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây.

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lời giải

Ta cần giải bất phương trình f'(x) < 0 .

Từ Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Đặt Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Khi đó ta có  .

Vậy hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn C.

                                 Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1.  Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(3x + 5) như hình vẽ. Hàm số y = f(x) nghịch trên khoảng nào?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(2 – x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

A. (-2,4) .                 B. (-1,3)                 C. (-2,0)             D. (0,1)

Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới.

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

A. (-1,0)                       B. (0,2)                  C. (1,2)                   D. (0,1)

Bài 4. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 – x) đồng biến trên khoảng:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

A. (1;3)                                B. (2;+∞)        

C. (-2;1)                               D. (-∞;2)

Bài 5. (Sở GDvàamp;ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đạo hàm f’(x) thỏa mãn f’(x) = (1-x)(x+2)g(x) + 2018 với g(x) < 0,∀x ∈ R. Hàm số y = f(1-x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?

A. (1;+∞)                              B. (0;3)                   

C. (-∞;3)                               D. (4;+∞)

Bài 6.  Cho hàm số f’(x) có bảng xét dấu như sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số y = f(x2 + 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-2;1)                            B. (-4;-3)        

C. (0;1)                             D. (-2;-1)

Bài 7. Cho hàm số f(x). Biết hàm số f’(x) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số y = f(3 – x2) + 2018 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

A. (-1;0).                              B. (2;3)                

C. (-2,-1) .                           D. (0;1)

Bài 8. Cho hàm số f(x) liên tục trên R, hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Xét hàm số h(x) = 2f(3x + 1) – 9×2 – 6x + 4. Hãy chọn nhất định đúng:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

A. Hàm số h(x) nghịch biến trên R.           B. Hàm số h(x) nghịch biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

C. Hàm số h(x) đồng biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giảiD. Hàm số h(x) đồng biến trên R.

Bài 9. (Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là f’(x) = (x-1)(x+3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;20] để hàm số y = f(x2+3x-m) đồng biến trên khoảng (0;2)?

A. 18                       B. 17                      C. 16                      D. 20

Bài 10. Cho hàm số f(x) có đồ thị của hàm số y = f'(x – 2) + 2 như hình vẽ. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hỏi hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. (-1;1)                                B. (-∞;2)           

C. Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải                            D. (2;+∞)

Giải đáp

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

A

C

D

C

D

D

A

C

A

A

Phần II. Các bài toán có chứa tham số.

Dạng 4. Tìm tham số m để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập xác nhận (khoảng xác nhận) của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên R

Bước 1: Tập xác nhận: D = R

Bước 2: Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c .

Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a ≠ 0).

– Hàm số đồng biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

– Hàm số nghịch biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d có a chứa tham số thì ta cần xét a = 0 để xác minh xem hàm số có đơn điệu trên R hay không.

– Không xét bài toán tìm m để hàm số y = ax4 + bx2 + c đơn điệu trên R do phương trình y’=0 luôn có tối thiểu 1 nghiệm là x = 0.

Bài toán 2. Tìm tham số m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải (c ≠ 0,ad – bc ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng xác nhận của nó. 

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác nhận: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bước 2: Đạo hàm:Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác nhận ⇔ y’ > 0,∀x ∈ D ⇔ ad – bc > 0 → m

– Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác nhận ⇔ y’ < 0,∀x ∈ D ⇔ ad – bc < 0 → m

Lưu ý: Nếu hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có c chứa tham số thì ta nên xét c = 0 để xác minh xem hàm số có đơn điệu trên từng khoảng xác nhận của nó hay không.

Mở rộng: 

* Tìm tham số  để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải (ad ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng xác nhận của nó. 

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác nhận: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bước 2: Đạo hàm: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

– Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác nhận ⇔ y’ ≥ 0,∀x ∈ D .

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

– Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác nhận ⇔ y’ < 0,∀x ∈ D

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lưu ý: Nếu gặp thắc mắc tương tự giành cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải thì ta cũng làm theo phương pháp nêu trên.

– So với bài toán 2, đạo hàm y’ chỉ to hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho y’ ≥ 0,y’ ≤ 0. Nguyên nhân là nếu ta cho y’ = 0 thì sẽ có vô số giá trị x thỏa mãn (mà khái niệm nêu rõ y’ = 0 tại một số hữu hạn điểm x mà thôi).

* Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên R 

Cách 1.

– Tính đạo hàm y’ = f'(x), cho y’ = f'(x) ≥ 0 nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên R (Trái lại: y’ = f'(x) ≤ 0 nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên R )

See also  Top 16 kết quả tìm kiếm tro choi giai toan tren mang mới nhất 2022

– Cô lập m để có được dạng g(m) ≥ h(x)  

(hoặc g(m) ≤ h(x);g(m) > h(x);g(m) < h(x) ).

– Tìm Max-Min cho hàm số h(x) trên R (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm h(x)).

– Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để tổng kết về điều kiện của m.

Cách 2. Đặt t = sinx (hoặc t = cosx ) với điều kiện t ∈ [-1,1] 

Bất phương trình: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hoàn toàn tương tự: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm số y = -x3 – mx2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞)  

A. 4                      B. 6                         C. 7                               D. 

Lời giải

TXĐ: D = R . 

Đạo hàm y’ = -3×2 – 2mx + 4m + 9 

Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) ⇔ y’ ≤ 0,∀x ∈ R     

( y’ = 0 có hữu hạn nghiệm). 

Do a = -3 < 0 nên y’ ≤ 0 ⇔ Δ’ ≤ 0 ⇔ m2 + 3(4m + 9) ≤ 0 ⇔ -9 ≤ m ≤ -3. 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Vậy có 7 giá trị m thoả mãn điều kiện bài toán.

Chọn C.

Sai lầm hay gặp là ”Để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (-∞;+∞) thì ⇔ y’ < 0,∀x ∈ R”. Khi đó ra giải ra -9 ≤ m ≤ -3 và chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải ( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác nhận của nó khi các giá trị của m là:

A. m ≥ 1 .               B. m = 1 .             C. Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giảiD. -1 < m < 1

Lời giải

Tập xác nhận: D = R. 

Đạo hàm: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác nhận của nó khi và chỉ khi y’ ≤ 0,∀x ∈ R 

(Dấu ” = ” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D )

⇔ g(x) = -x2 + 4x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ D . 

Do a = -1 < 0, nên g(x) ≤ 0 . 

⇔ Δg’ ≤ 0 ⇔ 4 – (-1).(2m + 1) ≤ 0 ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔ Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn C.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Hàm số y = x3 + mx đồng biến trên R khi:

A. Chỉ khi m = 0.            B. Chỉ khi m ≥ 0.

C. Chỉ khi m ≤ 0.            D. Với mọi m.

Câu 2. Tìm m lớn nhất để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên R ?

A. m = 1.               B. m = 2.               C. Giải đáp khác.              D. m = 3.

Câu 3. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải luôn đống biến trên R thì giá trị m nhỏ nhất là:

A. m = – 4.             B. m = 0.               C. m = – 2.                       D. m = 1.

Câu 4. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghịch biến trên R thì điều kiện của m là:

A. m > 1.               B. m = 2.               C. m ≤ 1.                         D. m ≥ 2.

Câu 5. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghịch biến trên R thì:

A. m < – 2.             B. m > – 2.            C. m ≤ -2.             D. m ≥ – 2.

Câu 6. Cho hàm số y = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1). Nhất định nào sau đây là đúng?

A. Hàm số luôn nghịch biến.     

B. Hàm số luôn đồng biến.

C. Hàm số không đơn điệu trên R .               

D. Các nhất định A, B, C đều sai.

Câu 7. Tìm điều kiện của a, b để hàm số y = 2x + a sinx + bcosx luôn luôn đồng biến trên R .

A. a2 + b2 ≤ 2 .       B. a2 + b2 ≥ 2         C. a2 + b2 ≤ 4          D. a2 + b2 ≥ 2

Câu 8. Giá trị của b để hàm số f(x) = sinx – bx + c nghịch biến trên toàn trục số là:

A. b ≥ 1.           B. b < 1 .          C. b = 1 .        D. b ≤ 1 .

Câu 9. Nếu hàm số   nghịch biến thì giá trị của m là:

A. (-∞;2) .         B. (2;+∞) .        C. R .        D. (-1;2) .

Câu 10. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số α và β sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải luôn giảm trên R ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 11. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y = f(x) = 2x + asinx + bcosx luôn tăng trên R ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 12. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải giảm trên các khoảng mà nó xác nhận ?

A. m < -3                    B. m ≤ -3                     C. m ≤ 1                  D. m < 1

Câu 13. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên R ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

A. -3 ≤ m ≤ 1                B . m ≤ 1                C. -3 < m < 1         D. m ≤ -3; m ≥ 1

Câu 14. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải tăng trên từng khoảng xác nhận của nó?

A. m > 1 .                     B. m ≤ 1                   C. m < 1               D. m ≥ 1

Câu 15. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = f(x) = x + m cosx luôn đồng biến trên R ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 16. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên R ?

y = 2×3 – 3(m + 2)x2 + 6(m + 1)x – 3m + 5 

A. 0.                  B. –1.                    C. 2.                     D. 1.

Câu 17. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải luôn nghịch biến trên các khoảng xác nhận của nó?

A. m = -1.               B. m = -2               C. m = 0             D. Không có  

Câu 18. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên từng khoảng xác nhận của nó?

A. 2.               B. 4.                  C. Vô số.               D. Không có.

Giải đáp

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

B

D

D

C

C

C

C

A

D

B

C

D

A

B

A

A

D

C

Dạng 5. Tìm m để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên một khoảng xác nhận K cho trước.

Bài toán 1. Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y’ = f'(x) .

Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

– Hàm số đồng biến trên K ⇔ y’ ≥ 0,∀x ∈ K .

– Hàm số nghịch biến trên K ⇔ y’ ≤ 0,∀x ∈ K.

Bước 3: 

Cách 1: 

Thay đổi theo dạng m ≥ g(x),∀x ∈ K (hoặc m ≤ g(x),∀x ∈ K ).

Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi ∀x ∈ K 

Dựa vào bảng biến thiên và tổng kết điều kiện cho tham số m   

Cách 2:

Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y’ = 0 (x phụ thuộc m).

Vận dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm).

*Tìm tham số m để hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đơn điệu trên một khoảng có độ dài p.

Phương pháp:

Bước 1: Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c.

Bước 2: 

– Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p ⇔ y’ có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

– Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p ⇔ y’ có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lưu ý: 

– Dạng này không cần điều kiện a ≠ 0,Δ > 0 vì điều kiện Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đã bao hàm hai ý trên.

–  Điều kiện |x1 – x2| = p có thể được xử lý theo hai cách chính: 

+ Một là sử dụng định lí Vi-ét: |x1 – x2| = p ⇔ x12 – 2x1x2 + x22 = p2

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

+ Hai là tự xây dựng công thức:Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải  

Các thắc mắc: “đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài > p, ≥ p; < p; ≤ p ta cũng sẽ làm tương tự.

Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số nhất biến Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đơn điệu trên một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

Phương pháp:

Bước 1: Tập xác nhận: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bước 2: Đạo hàm Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

– Hàm số đồng biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

– Hàm số nghịch biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

* Tìm tham số m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đơn điệu trên khoảng K cho trước.

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Bài toán 3. Bài toán tham số so với những dạng hàm số khác.

Phương pháp:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y’ = f'(x).

Bước 2: Điều kiện đơn điệu:

– Hàm số đồng biến trên K ⇔ y’ ≥ 0,∀x ∈ K.

– Hàm số nghịch biến trên K ⇔ y’ ≤ 0,∀x ∈ K

Bước 3: 

– Thay đổi theo dạng m ≥ g(x) ∀x ∈ K (hoặc m ≤ g(x) ∀x ∈ K ).

– Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) với mọi ∀x ∈ K

Dựa vào bảng biến thiên và tổng kết điều kiện cho tham số  

– Giả sử hàm g(x) tồn tại Max-Min trên R. Ta có:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

– Nếu hàm g(x) không tồn tại Max-Min trên R, tuy nhiên thông qua bảng biến thiên ta tìm được điều kiện bị chặn: M1 < g(x) < M2, khi đó:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. (Đề tốt nghiệp THPT 2020 mã đề 103) Tập hợp toàn bộ các giá trị thực của tham số m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng (-∞,-5)  

A. (2,5] .              B. [2,5)           C. (2;+∞) .        D. (2,5)

Lời giải

Chọn A

Tập xác định: D = R{-m} 
Ta có: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Hàm số đồng biến trên khoảng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Ví dụ 2. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

A. m < 2 .                     B.  m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2

C. 1 ≤ m < 2 .               D. m ≤ 0 .

Lời giải

Điều kiện: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Ta có Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Từ (*) và (**) suy ra Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn B.

Ví dụ 3. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x3 – 3×2 + (2 – m)x đồng biến trên khoảng (2;+∞) là:

A. (-∞,-1]                  B. (-∞,2)                C. (-∞,-1)                 D. (-∞,2]

Lời giải

Ta có y’ = 3×2 – 6x + 2 – m

Để hàm số đồng biến trên khoảng (2;+∞) khi và chỉ khi y’ ≥ 0, ∀x ∈ (2;+∞)   

⇔ 3×2 – 6x + 2 – m ≥ 0, ∀x ∈ (2;+∞) ⇔ m ≤ 3×2 – 6x + 2, ∀x ∈ (2;+∞)  

Xét hàm số f(x) = 3×2 – 6x + 2, ∀x ∈ (2;+∞) 

f'(x) = 6x – 6; f'(x) = 0 => 6x – 6 = 0 ⇔ x = 1;  .

Bảng biến thiên:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Từ bảng biến thiên ta thấy m ≤ 2. Vậy m ∈ (-∞,2] .

Chọn D.

Ví dụ 4. Tìm toàn bộ giá trị thực của m để hàm số y = x3 + (m + 1)x2 + 4x + 7 có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lời giải

Đạo hàm y’ = 3×2 + 2(m + 1)x + 4  .

Hàm số có độ dài khoảng nghịch biến đúng bằng 2√5 ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn A.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 1 Mã đề 101) Tập hợp toàn bộ các giá trị thực của tham số m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng (-∞;-7) là

A. [4;7) .               B. (4;7]              C. (4;7)               D. (4;+∞) .

Câu 2. (Đề tốt nghiệp THPT 2020 mã đê 102) Tập hợp toàn bộ các giá trị thực của tham số m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng (-∞;-8) là

A. (5;+∞).                B. (5;8].                C. [5;8).                D. (5;8).

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải giảm trên khoảng m(-∞;1) ?

See also  Bảng IPA tiếng Anh | Cách phát âm cực chuẩn

A. -2 < m < 2 .      B. -2 ≤ m ≤ -1.     C. -2 < m ≤ -1 .     D. -2 ≤ m ≤ 2.

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng (0;+∞) ?

A. m ≤ 0.              B. m ≤ 12.             C. m ≥ 0.              D. m ≥ 12

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải ?

A. 1 ≤ m < 2.              B. m ≤ 0; 1 ≤ m < 2             C. m ≥ 2              D. m ≤ 0

Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải giảm trên nửa khoảng [1,+∞) ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 7. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = -x4 + (2m – 3)x2 + m nghịch biến trên khoảng (1,2) là Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải , trong đó phân số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải tối giản và q >0. Hỏi tổng q + p là?

A. 5.                     B. 9.                     C. 7.                     D. 3.

Câu 8. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng (1,+∞)  ?

A. 3.                     B. 1.                     C. 2.                     D. 0.

Câu 9. Hàm số y = x3 – (m + 1)x2 – (2m2 – 3m + 2)x + 2m(2m – 1) đồng biến trên miền  [2;+∞) khi:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 10. Tập tất cả các giá trị của m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng (0;3) là:

A. m = 0.               B. Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. C. Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giảiD. m tùy ý.

Câu 11. Biết rằng hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghịch biến trên (x1, x2) và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định. Nếu |x1 – x2| = 6√3 thì giá trị m là:

A. -1.                      B. 3.                      C. – 3 hoặc 1.         D. – 1 hoặc 3. 

Câu 12. Giá trị của m để hàm số y = x3 + 3×2 + mx + m giảm trên đoạn có độ dài bằng 1 là:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 13. Hàm số y = x4 – 2(m – 1)x2 + m – 2 đồng biến trên (1;3) khi:

A. m ∈ [-5;2) .                         B. m ∈ (-∞;2]   

C. m ∈ (-∞;-5)                         D. m ∈ (2;+∞)

Câu 14. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghịch biến trên khoảng (-∞;2) khi và chỉ khi:

A. m > 2.               B. m ≥ 1.               C. m ≥ 2.               D. m > 1.

Câu 15. Hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghịch biến trên (-1; +∞)  khi:

A. m < 1.               B. m > 2.               C. 1≤ m < 2.                 D.- 1 < m < 2.

Câu 16Tìm toàn bộ giá trị thực của tham số m sao cho hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên khoảng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .             B. m ≤ 0 .            C. 1 ≤ m < 2 .           D. m ≥ 2

Câu 17. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải đồng biến trên (-1; +∞)

A. ∀m ∈ R .                    B. m ≤ 6                    C. m ≥ -3                D. m ≤ 3

Câu 18. Gọi S là tập hợp toàn bộ các giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên R : Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải. Tổng giá trị của toàn bộ các phần tử thuộc S bằng

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Giải đáp

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

B

B

C

D

B

A

B

B

C

D

B

C

D

D

B

C

C

A

D

C

Phần III. Bài toán ứng dụng sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

1. Phương pháp giải.

Bài toán 1: Nhận xét các bất đẳng thức f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b] hoặc f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a;b].

Phương pháp

Chuyển vế để mang bất đẳng thức về dạng f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a;b] 

Bước 1: Tính đạo hàm f'(x) và minh chứng đạo hàm chỉ mang một dấu (âm hoặc dương).

Bước 2: Vận dụng tính chất đơn điệu:

– Nếu hàm f(x) đồng biến trên [a;b] thì ∀x ∈ [a;b], 0 ≤ f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) 

– Trái lại nếu hàm f(x) nghịch biến trên [a;b] thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b) ≥ 0

Bài toán 2: Giải phương trình dạng f(u) = f(v) với u,v ∈ D .

Phương pháp:

Bước 1: Nhận diện hàm đặc trưng để mang phương trình về dạng f(u) = f(v) với u,v ∈ D, ∀x ∈ [a;b]. 

Bước 2: Minh chứng hàm đặc trưng f(t) đơn điệu trên D( f'(t) luôn âm hoặc luôn dương trên D ).

Bước 3: Giải phương trình: f(u) = f(v) ⇔ u = v

Bài toán 3: Giải phương trình dạng f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất x = x0 

Phương pháp:

Bước 1: Tìm một nghiệm x = x0 của phương trình (bằng tính nhẩm hoặc nhân lượng liên hợp v.v…).

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x) và minh chứng đạo hàm chỉ mang một dấu (tức là hàm f(x) đơn điệu trên miền xác nhận). 

Bước 3: Minh chứng hàm số g(x) là hàm hằng hoặc đơn điệu (trái lại hàm f(x) ). Từ đó nhất định phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  x = x0 

2. Ví dụ minh hoạ.

Ví dụ 1. Cho hàm y = f(x) số có f'(x) < 0,∀x ∈ R. Tìm toàn bộ các giá trị thực của x để Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Lời giải

Ta có: f'(x) < 0, ∀x ∈ R nên hàm số y = f(x) nghịch biến trên R

Do đó: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn D.

Ví dụ 2. (Đề tốt nghiệp 2020-Đợt 2 Mã đề 103) Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có tối thiểu ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0, +∞) ?

A. 15 .                   B. 12 .                    C. 14 .                   D. 13.

Lời giải

Đặt u = x2 – 4x  (1)

Ta có BBT sau:

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Ta thấy:

+ Với u < -4, phương trình (1) vô nghiệm.

+ Với u = -4, phương trình (1) có một nghiệm x = 2 > 0 .

+ Với -4 < u < 0, phương trình (1) có hai nghiệm x > 0 .

+ Vơi u ≥ 0, phương trình (1) có một nghiệm x > 0 

Khi đó 3f(x2 – 4x) = m => Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải(2), ta thấy:

+ Nếu Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải, phương trình (2) có một nghiệm u = 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x > 0 .

+ Nếu Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải, phương trình (2) có một nghiệm u > 0 và một nghiệm u ∈ (-2,0) nên phương trình đã cho có ba nghiệm x > 0 .

+ Nếu Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải, phương trình (2) có một nghiệm u = -4, một nghiệm u ∈ (-2,0) và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có bốn nghiệm x > 0

+ Nếu Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải, phương trình (2) có một nghiệm u < -4, hai nghiệm u ∈ (-4,0) và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có năm nghiệm x > 0

+ Nếu Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải, phương trình (2) có một nghiệm u < -4, một nghiệm u = -2 và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có ba nghiệm x > 0

+ Nếu  , phương trình (2) có một nghiệm u < -4 và một nghiệm u > 0 nên phương trình đã cho có một nghiệm x > 0

Vậy -9 < m ≤ 6 => có 15 giá trị  m nguyên thỏa yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Ví dụ 3. Khi giải phương trình: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải, ta tìm được nghiệm có dạng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải với a, b là các số nguyên. Hãy tính a2 + b2.

A. a2 + b2 = 13             B. a2 + b2 = 9             C. a2 + b2 = 41           D. a2 + b2 = 26 

Lời giải

Điều kiện: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải (*)

Chọn f(t) = t3 + t với t ≥ 0. Ta có f'(t) = 3t + 1 > 0, ∀t ≥ 0 . Vậy hàm số f(t) đồng biến trên [0,+∞) .

Phương trình (*) được viết: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải 

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Với định dạng Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Chọn D.

3. Bài tập tự luyện.

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x3 – 3×2 – 9x – m = 0 có đúng 1 nghiệm?

A. -27 ≤ m ≤ 5.                          B. m < -5 hoặc m > 27.

C. m < -27 hoặc m > 5 .            D. -5 ≤ m ≤ 27

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có nghiệm thực?

A. m ≥ 2.              B. m ≤ 2.              C. m ≥ 3 .               D. m ≤ 3.

Câu 3. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có đúng 2 nghiệm dương?

A. 1 ≤ m ≤ 3.         B. -3 < m < √5.    C. -√5 < m < 3.    D. -3 ≤ m < 3

Câu 4. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: x2 – 3x + 2 ≤ 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx2 + (m + 1)x + m + 1 ≥ 0 ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có ít nhất một nghiệm trên đoạn [1; 3√3]  ?

A. -1 ≤ m ≤ 3.           B. 0 ≤ m ≤ 2          C. 0 ≤ m ≤ 3          D. -1 ≤ m ≤ 2

Câu 6. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có hai nghiệm thực?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 7. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có hai nghiệm thực?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 8. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số sao cho bất phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghiệm đúng với mọi Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải ?

A. m > 1 .               B. m > 0 .              C. m < 1 .               D. m < 0 .

Câu 9. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghiệm đúng với mọi x ∈ [-1;3] ?

A. m ≤ 6 .                B. m ≥ 6 .                C. m ≥ 6√2 – 4.               D. m ≤ 6√2 – 4 

Câu 10. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghiệm đúng ∀x ∈ [-3,6]?

A. m ≥ -1 .                        B. -1 ≤ m ≤ 0.

C. 0 ≤ m ≤ 2 .                   D. m ≤ -1 hoặc m ≥ 2 .

Câu 11. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m.4x + (m – 1).2x+2 + m – 1 > 0 nghiệm đúng ∀x ∈ R?

A. m ≤ 3              B. m ≥ 0               C. -1 ≤ m ≤ 4                 D. m ≥ 0

Câu 12. Tìm toàn bộ các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải nghiệm đúng ∀x ≥ 1 ?

Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải

Câu 13. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có nghiệm?

A. m =4 .              B. m =8.              C. m =12             D. m =16.

Câu 14. Bất phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có tập nghiệm là [a,b]. Hỏi tổng a + b có giá trị là bao nhiêu? 

A. 2 .                   B. 4.                     C. 5.                     D. 3.

Câu 15. Bất phương trình Các dạng bài tập về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và cách giải có tập nghiệm (a,b]. Hỏi hiệu b – a có giá trị là bao nhiêu?

A. 1.                     B. 2.                     C. 3.                     D. -1 .

Giải đáp

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

C

B

B

C

B

C

D

D

D

D

B

A

A

C

A

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-cua-ham-so.jsp