MẠCH RLC CÓ ω BIẾN THIÊN

I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA P,UR UL, UC THEO ω

1. Tìm ω để Pmax.

Ta có: $P={{I}^{2}}.R$ . Vậy Pmax khi I có giá trị lớn nhất. Khi đó trong mạch xảy ra cộng hưởng.

Lúc đó ta có: $omega .L=frac{1}{omega .C}to omega =frac{1}{sqrt{LC}}$  

Khi Imax thì điện áp giữa hai đầu điện trở R cũng có giá trị lớn nhất và bằng UAB. Vì vậy ta kí hiệu ${{omega }_{R}}=frac{1}{sqrt{LC}}$ là tần số góc ứng với giá trị cực đại của UR

2. Tìm ω để ULmax.

Có thể dùng đạo hàm hoặc dùng tính chất của tam thức bậc hai để giải bài toán.

Nếu đặt $X=sqrt{frac{L}{C}-frac{{{R}^{2}}}{2}}$ thì tần số góc để ULmax được tính theo công thức: ${{omega }_{L}}=frac{1}{X.C}$

Và khi đó, điện áp cực đại của cuộn cảm được tính theo công thức: ${{U}_{Lmax }}=frac{2.U.L}{R.sqrt{4LC-{{R}^{2}}.{{C}^{2}}}}$

3. Tìm ω để UCmax.

Tần số góc để UCmax được tính theo công thức: ${{omega }_{C}}=frac{X}{L}$

Và khi đó điện áp cực đại của tụ được tính theo cùng  công thức của ULmax.

${{U}_{Cmax }}={{U}_{Lmax }}=frac{2.U.L}{R.sqrt{4LC-{{R}^{2}}.{{C}^{2}}}}$

Lưu ý: Điều kiện để UL, UC có cực trị là biểu thức trong căn của $X=sqrt{frac{L}{C}-frac{{{R}^{2}}}{2}}$ phải dương, nghĩa là phải có: $2Lvàgt;C.{{R}^{2}}$ . Và khi đó ta có thể minh chứng được: ${{omega }_{C}}, khi tăng dần vận tốc góc ω từ 0 đến ∞ thì điện áp trên các linh kiện sẽ lần lượt đạt cực đại theo thứ tự: C, R, L

Và nếu lấy tích của ωC và ωL thì ta sẽ có công thức sau:

Thăm dò kĩ hơn để so sánh :UCmax, ULmax và U thì ta có: UCmax = ULmax > U. Nếu vẽ chung đồ thị của UR, UL , UC trên cùng một hệ trục toạ độ với trục hoành là trục giá trị ω thì ta có hình vẽ sau

Với những giá trị của ω < ωR thì UC > UL, mạch khi đó có tính dung kháng. Với những giá trị của ω > ωR thì UL > UC mạch có tính cảm kháng

II. Những lưu ý khác:

1. Khi UC cực đại:

Ta có:

$X=omega .L={{Z}_{L}}$ Hay: ${{Z}_{L}}=sqrt{frac{L}{C}-frac{{{R}^{2}}}{2}}Leftrightarrow Z_{L}^{2}={{Z}_{L}}.{{Z}_{C}}-frac{{{R}^{2}}}{2}$

$Leftrightarrow frac{{{R}^{2}}}{2}={{Z}_{L}}.left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} right)$

Suy ra:             $frac{{{Z}_{L}}}{R}.frac{{{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}}{R}=frac{1}{2}$

Ở hình vẽ bên:             $frac{{{Z}_{L}}}{R}=tan {{alpha }_{1}},,,,,,,frac{{{Z}_{C}}-{{Z}_{L}}}{R}=tan {{alpha }_{2}}$

Vậy ta có: $tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}=frac{1}{2}$

Cũng từ hình vẽ ta có: ${{Z}^{2}}={{left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} right)}^{2}}+{{R}^{2}}Leftrightarrow {{Z}^{2}}={{left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} right)}^{2}}+2{{Z}_{L}}.left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} right)$

Thay đổi hệ thức trên ta có:             $Z_{C}^{2}={{Z}^{2}}+Z_{L}^{2}$

2. Khi UL cực đại:

2. Khi UL cực đại:

Tương tự như trên ta có các công thức sau

${{R}^{2}}=2.{{Z}_{C}}.left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)$

$tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}=frac{1}{2}$

$Z_{L}^{2}={{Z}^{2}}+Z_{C}^{2}$

3. Ứng với hai giá trị của ω thoả mãn công thức ${{omega }_{1}}.{{omega }_{2}}=frac{1}{LC}$

Khi đó,  ta có: ${{omega }_{1}}.L=frac{1}{{{omega }_{2}}.C}$ Và ${{omega }_{2}}.L=frac{1}{{{omega }_{1}}.C}$ .

Nghĩa là khi đó thì ZL và ZC đổi giá trị cho nhau. Hệ quả của điều này là:

  • Tổng trở của mạch có cùng một giá trị

  • Cường độ dòng điện hiệu dụng qua mạch có cùng một giá trị.

Điện áp trên cuộn cảm và trên tụ đổi giá trị cho nhau: ${{U}_{C1}}={{U}_{L2}}$ (vì I bằng nhau, nhưng ZL và ZC đổi giá trị cho nhau)

  • Điện áp trên cuộn cảm và trên tụ đổi giá trị cho nhau: ${{U}_{C1}}={{U}_{L2}}$ (vì I bằng nhau, nhưng ZL và ZC đổi giá trị cho nhau)

  • Công suất tiêu thụ trên mạch có cùng một giá trị.

  • Điện áp hiệu dụng ${{U}_{R}}$  trên R có cùng một giá trị.

Hệ số công suất [cos varphi =frac{{{U}_{R}}}{U}]  của mạch có cùng một giá trị

4. Sự phụ thuộc của UL, UC vào ${{omega }^{2}}$ được trình diễn bằng các đồ thị sau:

  • Đồ thị của UL cắt đường nằm ngang UAB tại hai giá trị $omega _{L*}^{2}$ và $infty $.Theo công thức trong bảng ta có: $frac{1}{omega _{L*}^{2}}+frac{1}{infty }=frac{2}{omega _{L}^{2}}$ . Suy ra: ${{omega }_{L*}}=frac{{{omega }_{L}}}{sqrt{2}}$.  Nghĩa là, giá trị của ω để UL = UAB nhỏ hơn giá trị của ω để ULmax $sqrt{2}$ lần.

Đồ thị của Uc cắt đường nằm ngang UAB tại hai giá trị của ω là 0 và $omega _{C*}^{2}$. Ứng dụng công thức trong bảng trên ta tính được: $omega _{C*}^{2}=2omega _{C}^{2}Rightarrow {{omega }_{C*}}={{omega }_{C}}.sqrt{2}$ . Nghĩa là, giá trị của ω để UC = UAB to hơn giá trị của ω để UC cực đại $sqrt{2}$ lần

MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài 1. Cho mạch điện xoay chiều RLC có CR2 < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U.$sqrt{2}$cos(wt) , trong đó U không đổi, w biến thiên. Điều chỉnh giá trị của w để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại. Khi đó UL = 0,1UR. Tính hệ số công suất của mạch khi đó

Giải:

Ta có: $tan {{alpha }_{1}}=frac{U_{L}^{{}}}{{{U}_{R}}}=0,1Rightarrow tan {{alpha }_{2}}=frac{0,5}{tan {{alpha }_{1}}}=5$                    

Hệ số công suất của mạch là : [cos {{alpha }_{2}}=sqrt{frac{1}{1+{{tan }^{2}}{{alpha }_{2}}}}=frac{1}{sqrt{26}}]

See also  Hiệu suất là gì? Tổng hợp những cách tính hiệu suất phổ biến

Bài 2. Cho mạch điện AB gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm L và tụ C tiếp nối với nhau theo thứ tự trên., và có CR2 < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U.$sqrt{2}$cos(wt) , trong đó U không đổi, w biến thiên. Điều chỉnh giá trị của w để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại. Khi đó ${{U}_{Cmax }}=frac{5U}{4}$. Gọi M là điểm nối giữa L và C. Hệ số công suất  của đoạn mạch AM là:

A. $frac{2}{sqrt{7}}$                             B. $frac{1}{sqrt{3}}$                                 

C. $sqrt{frac{5}{6}}$                              D. $frac{1}{3}$

Giải:

Ta có: ${{U}_{Cmax }}=frac{5U}{4}Leftrightarrow {{Z}_{C}}=frac{5Z}{4}$.

Không làm tác động đến kết quả bài toán, có thể giả sử ZC = 5Ω, Z = 4Ω.

Khi đó: ${{Z}_{L}}=sqrt{{{5}^{2}}-{{4}^{2}}}=3Omega $

$R=sqrt{2.{{Z}_{L}}.left( {{Z}_{C}}-{{Z}_{L}} right)}=sqrt{2.3.left( 5-3 right)}=2sqrt{3},,,Omega $ . Suy ra: ZAM = $sqrt{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}=sqrt{12+9}=sqrt{21}$

Hệ số công suất của đoạn mạch AM [cos {{alpha }_{1}}=frac{R}{{{Z}_{AM}}}=frac{2sqrt{3}}{sqrt{21}}=frac{2}{sqrt{7}}]

Bài 3. Cho mạch điện xoay chiều RLC có CR2 < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U.$sqrt{2}$cos(wt) , trong đó U không đổi, w biến thiên. Điều chỉnh giá trị của w để điện áp hiệu dụng giữa hai đầu của cuộn cảm đạt cực đại. Khi đó ${{U}_{Lmax }}=frac{41U}{40}$. Tính hệ số công suất của mạch khi đó

A. 0,6          B. 0,8  C. 0,49            D. $frac{3}{11}$

Giải:

Tương tự trên, có thể giả sử: Z = 40Ω, ZL = 41Ω. 

Khi đó: ${{Z}_{C}}=sqrt{{{41}^{2}}-{{40}^{2}}}=9Omega $

$R=sqrt{2.{{Z}_{C}}.left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} right)}=sqrt{2.9.left( 41-9 right)}=24Omega $

Hệ số công suất của mạch khi đó: [cos varphi =frac{R}{Z}=frac{24}{40}=0,6]

Bài 4. Cho mạch điện AB gồm điện trở thuần R, cuộn thuần cảm L và tụ C tiếp nối với nhau theo thứ tự trên., và có CR2 < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có biểu thức u = U.$sqrt{2}$cos(wt) , trong đó U không đổi, w biến thiên. Điều chỉnh giá trị của w để điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ đạt cực đại. Gọi M là điểm nối giữa cuộn cảm và tụ. Người ta dùng vôn kế V1 để theo dõi giá trị của UAM, vôn kế V2 để theo dõi giá trị của UMN giá trị lớn nhất mà V2 chỉ là 90V. Khi V2 chỉ giá trị lớn nhất thì V1 chỉ giá trị $30sqrt{5}$V. Tính U.

A. 70,1V.                B. 60$sqrt{3}$V                    C. 60$sqrt{5}$                       D. 60$sqrt{2}$V

Bên giản đồ véc tơ, ta có:

$y=sqrt{{{90}^{2}}-{{left( 30sqrt{5} right)}^{2}}}=60V$

x = 90 – y = 30V

$U=sqrt{{{90}^{2}}-{{x}^{2}}}=sqrt{{{90}^{2}}-{{30}^{2}}}=60sqrt{2}V$

Lưu ý: Nếu cần tính UR khi đó thì ta có:

${{U}_{R}}=v=sqrt{2.x.y}=sqrt{2.60.30}=60V$

Hệ số công suất của mạch khi này là: $frac{{{U}_{R}}}{U}=frac{1}{sqrt{2}}$

 

Câu 4. Cho mạch điện RLC mắc tiếp nối, trong đó RC2 < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = U$sqrt{2}$cos 2pft, trong đóng U có giá trị không đổi, f có thể thay đổi được. Khi f = f1 thì điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, mạch tiêu thụ công suất bằng $frac{3}{4}$ công suất cực đại. Khi tần số của dòng điện là f2 = f1 + 100Hz thì điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm có giá trị cực đại.

a. Tính tần số của dòng điện khi điện áp hiệu dụng của tụ cực đại.

A. 125Hz                    B. 75$sqrt{5}$ Hz                 C. 50$sqrt{15}$Hz                D. 75$sqrt{2}$Hz.

b. Tính hệ số công suất của mạch khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm cực đại.

A. $frac{sqrt{3}}{2}$                                      B. $frac{1}{sqrt{3}}$                                 

C. $sqrt{frac{5}{7}}$                                    D. $frac{2}{sqrt{5}}$

Giải:

Hai tần số f1 và f2 thoả mãn công thức: $f_{1}^{2}.f_{2}^{2}=f_{R}^{2}$. Vậy tần số của dòng điện để điện áp hiệu dụng trên điện trở đạt cực đại là: ${{f}_{R}}=sqrt{{{f}_{1}}.{{f}_{2}}}$  (*)

Khi điều chỉnh f để công suất tiêu thụ trên mạch cực đại thì trong mạch xảy ra cộng hưởng. Hệ số công suất khi đó bằng 1. Và công suất tiêu thụ của mạch được tính bằng biểu thức: ${{P}_{max }}=frac{{{U}^{2}}}{R}$

Trong các trường hợp khác thì công suất của mạch được tính bằng biểu thức:

$P={{I}^{2}}.R=frac{{{U}^{2}}}{{{Z}^{2}}}.R=frac{{{U}^{2}}}{R}.frac{{{R}^{2}}}{{{Z}^{2}}}=frac{{{U}^{2}}}{R}.{{cos }^{2}}varphi ={{P}_{max }}.{{cos }^{2}}varphi $

Ứng với tần số f1, công suất tiêu thụ trên mạch bằng $frac{3}{4}$ Pmax. Vậy ta suy ra hệ số công suất khi Ucmax là $sqrt{frac{3}{4}}=frac{sqrt{3}}{2}$ ( trên hình vẽ, hệ số công suất của mạch khi này có giá trị bằng [cos {{alpha }_{1}}]

Không làm tác động đến kết quả, có thể giả sử v = $sqrt{3}$ , z = 2. Khi đó ta suy ra y = 1.

Theo công thức của phần lý thuyết ở trên thì ta có: $x=frac{{{v}^{2}}}{2.y}=frac{3}{2}=1,5$

Theo tỷ lệ trên hình vẽ thì khi tần số dòng điện là f1 thì tỉ số giữa dung kháng và cảm kháng của mạch là : $frac{Z_{C1}^{{}}}{{{Z}_{L1}}}=frac{x+y}{x}=frac{2,5}{1,5}=frac{5}{3}$

Vì khi tần số của dòng điện tăng từ f1 đến f2 thì điện áp của tụ và của cuộn cảm đổi giá trị cho nhau, nên cảm kháng và dung kháng trong mạch cũng đổi giá trị cho nhau. Nên ở tần số f2 thì ta có: $frac{{{Z}_{L2}}}{{{Z}_{C2}}}=frac{5}{3}$ .            Hay $frac{{{Z}_{L2}}}{{{Z}_{L1}}}=frac{{{f}_{2}}}{{{f}_{1}}}=frac{5}{3}$          

See also  Giải toán trên máy tính casio fx 500ms-570ms: Dạng toán về dãy truy hồi (phibonacci)

Mặt khác: f2 = f1 + 100 (Hz)

Giải hệ phương trình ta suy ra: f1 = 150Hz, f2 = 250Hz

Thay hai giá trị f1 và f2 ở trên vào(*) ta có: ${{f}_{R}}=sqrt{150.250}=50.sqrt{15},Hz$

b. Hệ số công suất của mạch khi điện áp giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại cũng bằng hệ số công suất mạch khi điện áp giữa hai đầu tụ điện đạt cực đại và bằng $frac{sqrt{3}}{2}$

Giải:

a. Khi tăng dần ω từ 0 đến ∞ thì UC đạt cực đại trước tiên. Theo đề, V3 có số chỉ cực đại trước tiên. Vậy Z là hộp chứa tụ.

Do ${{U}_{Lmax }}={{U}_{Cmax }}$ . Mà số chỉ cực đại của V1 và V3 bằng nhau. Nên ta suy ra X là hộp chứa cuộn cảm.

Cuối cùng, Y là hộp chứa điện trở thuần.

Vậy theo thứ tự từ trái sang phải là các linh kiện: L, R, C. Chọn lời giải B.

b. Khi I đạt cực đại thì UR cũng đạt cực đại nên A và V2 đồng thời có số chỉ cực đại.

Theo trình tự thời gian, các dụng cụ đo có số chỉ cực đại lần lượt là: V3 , sau đó V2 và A đồng thời, cuối cùng là V1. Chọn B

V2 có số chỉ cực đại ${{U}_{Rmax }}={{U}_{AB}}$ . Vậy ta có UAB = 150V. Khi V2 (và đồng thời A) có số chỉ cực đại thì công suất tiêu thụ trên mạch lớn nhất và bằng: ${{P}_{max }}=U.{{I}_{max }}=150.1=150W$

Khi V1 có số chỉ cực đại thì ta có giản đồ véc tơ như hình bên

Ta có: ${{U}_{C}}=sqrt{{{170}^{2}}-{{150}^{2}}}=80V$

${{U}_{R}}=sqrt{2.80.left( 170-80 right)}=120V$

Hệ số công suất của mạch là [cos varphi =cos {{alpha }_{2}}=frac{120}{150}=0,8]

Công suất tiêu thụ của mạch khi này là:

$P=frac{{{U}^{2}}}{R}.{{cos }^{2}}varphi ={{P}_{max }}.{{cos }^{2}}varphi =150.0,{{8}^{2}}=96W$

 

Câu 6. Cho mạch điện RLC mắc tiếp nối, trong đó RC2 < 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều u = U$sqrt{2}$cos 2pft, trong đóng U có giá trị không đổi, f có thể thay đổi được. Khi f = f1 thì điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị bằng U, mạch tiêu thụ công suất bằng $frac{3}{4}$ công suất cực đại. Khi tần số của dòng điện là f2 = f1 + 100Hz thì điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm có giá trị bằng U.

a. Tính tần số của dòng điện khi điện áp hiệu dụng của tụ cực đại

b. Tính hệ số công suất của mạch khi điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm cực đại

Giải:

a. Công suất tiêu thụ của đoạn mạch được tính bằng công thức: $P={{P}_{max }}.{{cos }^{2}}varphi $

Theo đề, khi f = f1 thì UC = U và có [{{cos }^{2}}varphi =frac{3}{4}Rightarrow cosvarphi =frac{sqrt{3}}{2}].Giản đồ véc tơ của mạch khi đó có dạng như hình vẽ

ứng với hai tần số f1 và f2 thì UL và UC đổi giá trị cho nhau nên ZL và ZC cũng đổi giá trị cho nhau,  ta có:

ZL2 = ZC1 = 2ZL1. Suy ra f2 = 2f1.

Mặt khác, f2 = f1 + 100 Hz

Suy ra: f1 = 100Hz, f2 = 200Hz.

Tần số của dòng điện khi UC = U gấp $sqrt{2}$ lần tần số của dòng điện khi Ucmax. Vậy khi Ucmax thì tần số của dòng điện là: ${{f}_{C}}=frac{{{f}_{1}}}{sqrt{2}}=frac{100}{sqrt{2}}=50sqrt{2},,Hz$

b. ứng với tần số f2, UL = U, giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ:

Không làm tác động đến kết quả, có thể giả sử: ZL = ZAB = 2Ω . Khi đó, ZC = 1Ω , R =  Ω.

Ứng với tần số fL = f2.$sqrt{2}$ thì điện áp trên tụ đạt giá trị cực đại. Lúc đó, cảm kháng của mạch tăng trưởng $sqrt{2}$ lần, dung kháng của mạch giảm đi $sqrt{2}$ lần. Giản đồ véc tơ như hình vẽ c.

Trên giản đồ này, ta có: OH = $sqrt{3}$ , HM = $2sqrt{2}-frac{1}{sqrt{2}}=frac{3}{sqrt{2}}$

Suy ra: MO = $sqrt{3+frac{9}{2}}=sqrt{frac{15}{2}}$

Hệ số công suất của mạch khi này là:

[cos varphi =frac{OH}{MO}=frac{sqrt{3}}{sqrt{frac{15}{2}}}=sqrt{frac{6}{15}}=sqrt{frac{2}{5}}]

Bài 7. Cho mạch điện như hình vẽ.Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức u = U0cos ωt (V) trong đó, U0 có giá trị không đổi, ω có thể thay đổi được. Điều chỉnh ω để điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, khi đó uAN lệch pha góc 71,570 (tan 71,570  =3) so với uAB, công suất tiêu thụ của mạch khi này là 200W. Hỏi khi điều chỉnh ω để công suất tiêu thụ của mạch đạt cực đại thì giá trị cực đại đó bằng bao nhiêu? Biết rằng hệ số công suất của đoạn mạch AN to hơn hệ số công suất của đoạn mạch AB

Giải:

Khi UC đạt cực đại thì giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ.

Ta có: $tan left( {{alpha }_{1}}+{{alpha }_{2}} right)=frac{tan {{alpha }_{1}}+tan {{alpha }_{2}}}{1-tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}}=tan 71,{{57}^{0}}=3$   (1)

Mặt khác, ta có: $tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}=0,5$                       (2)

See also  Cách tính hỗn số: Lý thuyết và Bài tập cách tính nhanh hỗn số

Và vì hệ số công suất của đoạn mạch AN to hơn hệ số công suất của đoạn mạch AB nên ta có: ${{alpha }_{1}}

Từ (1),(2),(3) ta suy ra: $tan {{alpha }_{1}}=frac{1}{2},,,tan {{alpha }_{2}}=1$

Hệ số công suất của đoạn mạch AB là [cos varphi =cos {{alpha }_{2}}=cos frac{pi }{4}=frac{sqrt{2}}{2}]

Công suất tiêu thụ của đoạn mạch được tính bởi công thức:

$P={{P}_{max }}.{{cos }^{2}}varphi ={{P}_{max }}.frac{1}{2}$

Theo đề thì P = 200W. Suy ra Pmax = 400W

Bài 8. Cho mạch điện như hình vẽ.Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức u = U0cos ωt (V) trong đó, U0 có giá trị không đổi, ω có thể thay đổi được. Điều chỉnh ω để điện áp hiệu dụng trên tụ có giá trị cực đại, khi đó uAN lệch pha góc α so với uAB. Tìm giá trị nhỏ nhất của α

Giải:

 Khi UC đạt cực đại thì giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ

Ta có: $tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}=0,5$

$tan alpha =tan left( {{alpha }_{1}}+{{alpha }_{2}} right)=frac{tan {{alpha }_{1}}+tan {{alpha }_{2}}}{1-tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}}=frac{tan {{alpha }_{1}}+tan {{alpha }_{2}}}{1-0,5}=2.left( tan {{alpha }_{1}}+tan {{alpha }_{2}} right)$

Vì α1, α2 là những góc nhọn, nên tan của chúng là những số dương.

Theo bất đẳng thức Cosi ta có:

$tan {{alpha }_{1}}+tan {{alpha }_{2}}ge 2.sqrt{tan {{alpha }_{1}}.tan {{alpha }_{2}}}=2.sqrt{frac{1}{2}}=sqrt{2}$

Vậy thay vào biểu thức trên ta có:

$tan alpha ge 2sqrt{2}Rightarrow alpha ge 70,{{53}^{0}}$

Vậy khi UC đạt giá trị cực đại thì uRL sớm pha hơn uAB một góc tối thiểu bằng 70,530.

Bài 9. Cho mạch điện xoay chiều RLC tiếp nối, trong đó L là cuộn thuần cảm, RC2 > 2L. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức $u={{U}_{0}}.cos left( omega t+varphi  right)left( V right)$ trong đó U0 không đổi, còn ω có thể thay đổi được. Ban đầu tần số góc của dòng điện là ω, hệ số công suất của đoạn mạch MB bằng 0,6. Khi tăng tần số của dòng điện lên gấp đôi thì điện áp giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại. Hỏi từ giá trị ω, phải thay đổi tần số của dòng điện thế nào để:

a. Công suất tiêu thụ trên đoạn mạch đạt cực đại.

b. Điện áp hiệu dụng trên tụ đạt cực đại.

a. Khi tần số góc là ω, hệ số công suất của đoạn MB là 0,6. Không làm tác động đến kết quả có thể giả sử khi đó: R = 6Ω, ZMB = 10Ω. Suy ra ZC = 8Ω.

Khi tăng tần số của dòng điện lên gấp đôi (đến ω’ = 2ω) thì dung kháng của mạch là $Z_{C}^{‘}=4Omega $ , điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm đạt cực đại. Lúc đó giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ.

Ta có: $x=frac{{{R}^{2}}}{2.{{Z}_{C}}}=frac{{{6}^{2}}}{2.4}=4,5Omega $

Cảm kháng của mạch khi này là : $Z_{L}^{‘}=4+4,5=8,5Omega $

Tỉ lệ giữa cảm kháng và dung kháng của mạch là:

$frac{Z_{L}^{‘}}{Z_{C}^{‘}}=2omega L.2omega C=4{{omega }^{2}}.LC=frac{8,5}{4}=frac{17}{8}$                                                                                      (1)

Khi điều chỉnh để công suất tiêu thụ của mạch đạt giá trị cực đại thì trong mạch xảy ra cộng hưởng. Lúc đó tỉ số giữa cảm kháng và dung kháng của mạch là:

$frac{Z_{L}^{”}}{Z_{C}^{”}}={{omega }^{”}}L.{{omega }^{”}}C={{omega }^{”2}}.LC=1$             (2)

Chia hai vế của (1) cho (2) ta có:                $frac{2omega }{{{omega }^{”}}}=sqrt{frac{17}{8}}Rightarrow {{omega }^{”}}=omega .sqrt{frac{32}{17}}$

Vậy từ tần số góc ω, muốn cho công suất của mạch đạt cực đại thì phải tăng tần số góc lên $sqrt{frac{32}{17}}$  lần.

b. Gọi ω’’’ là tần số góc khi điện áp trên tụ đạt cực đại. Ta có:

${{omega }^{”’}}=frac{{{omega }^{”2}}}{{{omega }^{‘}}}=frac{{{omega }^{2}}.frac{32}{17}}{2.omega }=omega .frac{16}{17}$

Vậy từ giá trị tần số góc ω, muốn cho điện áp hiệu dụng trên tụ đạt cực đại thì phải giảm tần số góc xuống đến giá trị $omega .frac{16}{17}$ ( tức là giảm bớt đi một lượng $frac{omega }{17}$ )

Bài 10. Cho mạch điện xoay chiều như hình vẽ, trong đó cuộn dây có điện trở thuần r. Đặt vào hai đầu đoạn mạch điện áp xoay chiều có biểu thức u = U0cos ωt (V), trong đó U0 không thay đổi, ω có thể thay đổi được. Điều chỉnh giá trị của ω để điện áp hiệu dụng của đoạn MB đạt cực đại thì giá trị cực đại đó đúng bằng U0, công suất tiêu thụ của đoạn mạch khi này là 182W, điện áp hiệu dụng của đoạn AM khi này là 135,2V.

a. Tính r.

b. Tính U0

a. Điều chỉnh để Ucmax thì giản đồ véc tơ của mạch như hình vẽ

Ta có: $x=sqrt{U_{0}^{2}-{{U}^{2}}}=sqrt{2{{U}^{2}}-{{U}^{2}}}=U$

$y={{U}_{0}}-x=Uleft( sqrt{2}-1 right)$

$v=sqrt{2xy}=sqrt{2U.Uleft( sqrt{2}-1 right)}=U.sqrt{2sqrt{2}-2}$ (*)

Điện áp hiệu dụng của  đoạn AM là:

$U_{rL}^{{}}=sqrt{{{x}^{2}}+{{v}^{2}}}=sqrt{{{U}^{2}}+{{U}^{2}}left( 2sqrt{2}-2 right)}=Usqrt{2sqrt{2}-1}$ =135,2 (V)

Suy ra: U = 100(V). Thay vào (*) suy ra v = 91(V)

Ta có: $P=frac{{{v}^{2}}}{r}=frac{{{91}^{2}}}{r}=182Rightarrow r=45,5Omega $

b. Giá trị của U0

${{U}_{0}}=U.sqrt{2}=100sqrt{2}left( V right)$

 

 

 

Bài viết gợi ý: