4/5 – (2 bình chọn)

Hạn chế của hàm số, cách tính và bài tập ứng dụng

Hạn chế hữu hạn


Hạn chế vô cực, Hạn chế ở vô cực



Hạn chế 1 bên


Bài tập ứng dụng tìm hạn chế


















Ví dụ 8: Tìm hạn chế sau











Mối quan hệ giữa hạn chế một bên và hạn chế tại một điểm




Một số phương pháp tính lim thủ công

Tính hạn chế của dãy số

Cách 1: Sử dụng khái niệm tìm hạn chế 0 của dãy số

Cách 2: Tìm hạn chế của dãy số bằng công thức

Một số công thức ta thường gặp khi tính hạn chế hàm số như sau:

Công thức trên có thể đổi khác thành các dạng khác tuy nhiên về bản chất thì không thay đổi.

Cách 3: Sử dụng khái niệm tìm hạn chế hữu hạn

Cách 4: Sử dụng các hạn chế đặc biệt cùng với định lý để khắc phục các bài toán tìm hạn chế dãy số

  • Ta thường sử dụng các dạng hạn chế:

  • Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì ta tiến hành  chia cả tử và mẫu cho n^k với k là mũ cao nhất ở bậc mẫu.
  • Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hợp để mang về dạng cơ bản thì ta có một số lượng liên  hợp thiết yếu như sau:

Cách 5: Vận dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, tính hạn chế, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thiện phân số.

  • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q| < 1
  • Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (Un)

S = u1 + u2 + u3 + u4 + …. + un = u1 / ( 1 – q )

  • Mọi số thập phân đều được biểu thị dưới dạng lũy thừa của 10.

Câu 6: Tìm hạn chế vô cùng của một dãy số bằng khái niệm

Cách 7: Tìm hạn chế của một dày số bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm hạn chế vô cực

Minh chứng một dãy số có hạn chế

Vận dụng định lý Vâyơstraxơ:

  • Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có hạn chế.
  • Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có hạn chế.

Minh chứng tính tăng và tính bị chặn:

Minh chứng một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng trước hết của dãy và xem xét mối liên hệ để phán đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.

Tính hạn chế của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:

Phương pháp 1

Đặt lim un = a. Từ lim u(n+1) = lim f(un) ta được một phương trình theo ẩn a.

Giải phương trình tìm nghiệm a và hạn chế của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là hạn chế cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.

Note: Hạn chế của dãy số nếu có là duy nhất.

Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách phán đoán. Minh chứng công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính hạn chế của dãy thông qua công thức tổng quát đó.

Tính hạn chế của hàm số

Để tính hạn chế của hàm số ta có thể thực hiện một số phương pháp như sau:

  • Dùng khái niệm để tìm hạn chế
  • Tìm hạn chế của hàm số bằng công thức
  • Sử dụng khái niệm tìm hạn chế một bên
  • Sử dụng định lí và công thức tìm giới  hạn một bên
  • Tính hạn chế vô cực
  • Tìm hạn chế của hàm số dạng 0/0
  • Dạng vô định

Dưới đây là một số công thức tính hàm số vô cùng cơ bản:

Cách tính lim trên máy tính

Bước 1: Trước tiên hãy nhập biểu thức vào máy tính

Bước 2: Sử dụng tính năng này là gán số tính giá trị biểu thức

Bước 3: Lưu ý gán các giá trị theo bên dưới:

+) Lim về vô cùng dương thì hãy gán số 100000

+) Lim về vô cùng âm thì hãy gán số -100000

+) Lim về 0 thì hãy gán số 0.00000001

+) Lim về số bất kì ví dụ như về +3 thì gán 3.000000001 còn về 3- thì gán 2.9999999999

Tính lim là một dạng bài tập  khá cơ bản, tuy nhiên dạng toán này vẫn chiếm một vài câu trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Các bạn cần đảm bảo tính chuẩn xác khi làm. Đặc biệt có thể sử dụng máy tính Casio để có thể tính toán nhanh và chuẩn xác nhất.

CÁCH TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ NHƯ THẾ NÀO?

TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG XÁC ĐỊNH

Nếu hàm f(x) xác nhận tại điểm lấy hạn chế. Thì ta chỉ việc thay điểm đó vào biểu thức dưới dấu lim sẽ được kết quả cần tìm.

Ta chỉ việc thay x=2 vào biểu thức trong dấu lim ta được -1/4. Và đó chính là kết quả của hạn chế trên.

TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG BẤT ĐỊNH

So với dạng bất định ta quan tâm tới một số dạng thường gặp như sau:

1. TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG 0 TRÊN 0

So với dạng 0 trên 0 ta lại chia làm 2 loại: Loại hạn chế không chứa căn và loại chứa căn.

Loại không chứa căn bao gồm các loại hạn chế đặc biệt và loại phân thức mà tử và mẫu là các đa thức.

Hạn chế đặc biệt dạng 0 trên 0 được đề cập đến trong chương trình phổ thông hiện tại là:

Cách tính hạn chế dạng 0 trên 0 loại đa thức trên đa thức thì ta phân tích thành nhân tử bằng lược đồ Hoocner.

Ta thấy x=1 là nghiệm của cả tử số và mẫu số. Ta dùng lược đồ Hoocner để phân tích tử số và mẫu số.

Còn để tính loại chứa căn ta thực hiện nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.


Với căn bậc 3 ta cũng làm tương tự.

Ta có:

Trong trường hợp hạn chế có cả căn bậc 2 và căn bậc 3 thì ta thêm bớt 1 lượng để mang về tổng hiệu của 2 hạn chế dạng 0 trên 0.


GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRÊN VÔ CÙNG

Với dạng hạn chế vô cùng trên vô cùng ta giải bằng cách chia cả tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất của tử hoặc của mẫu. Lưu ý dạng này khi x tiến tới âm vô cùng tất cả chúng ta hay nhầm lẫn về dấu. Rõ ràng và cụ thể khi mang x vào trong căn bậc 2 ta cần để dấu – bên ngoài.


GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRỪ VÔ CÙNG

Với dạng vô cùng trừ vô cùng (vô cực trừ vô cực) ta thực hiện theo 2 phương pháp: Nhóm ẩn bậc cao nhất hoặc nhân liên hợp. Cách nào thuận tiện hơn ta tiến hành theo cách đó.

Trường hợp này tất cả chúng ta cần nhân liên hợp bởi vì nếu nhóm x thì sẽ lại mang về dạng bất định 0 nhân vô cùng.


Bài này giống bài trên đều là dạng vô cùng trừ vô cùng. Nhưng ta lại để ý là hệ số bậc cao nhất trong 2 căn là khác nhau. Vì vậy bài này tất cả chúng ta nên nhóm nhân tử chung.

GIỚI HẠN DẠNG 1 MŨ VÔ CÙNG

Với hạn chế dạng 1 mũ vô cùng ta tính thông qua hạn chế đặc biệt sau:


GIỚI HẠN DẠNG 0 NHÂN VÔ CÙNG

Về bản chất hạn chế dạng 0 nhân vô cùng có thể mang về dạng 0 trên 0 hoặc dạng vô cùng trên vô cùng qua 1 vài phép thay đổi theo lưu ý ở đầu nội dung này phần khái niệm. Với dạng hạn chế này tất cả chúng ta nên thay đổi về dạng xác nhận hoặc các dạng hạn chế vô định đã nêu ra ở trên. Tùy từng bài rõ ràng và cụ thể tất cả chúng ta cần thay đổi cho thích hợp.


Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên mục hạn chế

BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.

Dạng 1. Sử dụng khái niệm tìm hạn chế 0 của dãy số
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm hạn chế 0 của dãy số 
Dạng 3. Sử dụng các hạn chế đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm hạn chế dãy
Dạng 4. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm hạn chế, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thiện phân số 
Dạng 5. Tìm hạn chế vô cùng của một dãy bằng khái niệm
Dạng 6. Tìm hạn chế của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm hạn chế vô cực
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ

Dạng 1. Dùng khái niệm để tìm hạn chế 
Dạng 2. Tìm hạn chế của hàm số bằng công thức
Dạng 3. Sử dụng khái niệm tìm hạn chế một bên 
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm hạn chế một bên 
Dạng 5. Tính hạn chế vô cực 
Dạng 6. Tìm hạn chế của hàm số thuộc dạng vô định 0/0
Dạng 7. Dạng vô định 
Dạng 8. Dạng vô định
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}

BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x) 
Dạng 5. Minh chứng phương trình f(x)=0 có nghiệm 
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo} 









See also  Thành phần hoá học và tính chất lý học của trứng gia cầm