4/5 – (2 bình chọn)
Hạn chế của hàm số, cách tính và bài tập ứng dụng
Hạn chế hữu hạn
Hạn chế vô cực, Hạn chế ở vô cực
Hạn chế 1 bên
Bài tập ứng dụng tìm hạn chế
Ví dụ 8: Tìm hạn chế sau
Mối quan hệ giữa hạn chế một bên và hạn chế tại một điểm
Một số phương pháp tính lim thủ công
Tính hạn chế của dãy số
Cách 1: Sử dụng khái niệm tìm hạn chế 0 của dãy số
Cách 2: Tìm hạn chế của dãy số bằng công thức
Một số công thức ta thường gặp khi tính hạn chế hàm số như sau:
Công thức trên có thể đổi khác thành các dạng khác tuy nhiên về bản chất thì không thay đổi.
Cách 3: Sử dụng khái niệm tìm hạn chế hữu hạn
Cách 4: Sử dụng các hạn chế đặc biệt cùng với định lý để khắc phục các bài toán tìm hạn chế dãy số
- Ta thường sử dụng các dạng hạn chế:
- Nếu biểu thức có dạng phân thức tử số và mẫu số chứa lũy thừa của n thì ta tiến hành chia cả tử và mẫu cho n^k với k là mũ cao nhất ở bậc mẫu.
- Nếu biểu thức chứa căn thức cần nhân một lượng liên hợp để mang về dạng cơ bản thì ta có một số lượng liên hợp thiết yếu như sau:
Cách 5: Vận dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn, tính hạn chế, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thiện phân số.
- Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn và có công bội là |q| < 1
- Tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi vô hạn (Un)
S = u1 + u2 + u3 + u4 + …. + un = u1 / ( 1 – q )
- Mọi số thập phân đều được biểu thị dưới dạng lũy thừa của 10.
Câu 6: Tìm hạn chế vô cùng của một dãy số bằng khái niệm
Cách 7: Tìm hạn chế của một dày số bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm hạn chế vô cực
Minh chứng một dãy số có hạn chế
Vận dụng định lý Vâyơstraxơ:
- Nếu dãy số (un) tăng và bị chặn trên thì nó có hạn chế.
- Nếu dãy số (un) giảm và bị chặn dưới thì nó có hạn chế.
Minh chứng tính tăng và tính bị chặn:
Minh chứng một dãy số tăng và bị chặn trên (dãy số tăng và bị chặn dưới) bởi số M ta thực hiện: Tính một vài số hạng trước hết của dãy và xem xét mối liên hệ để phán đoán chiều tăng (chiều giảm) và số M.
Tính hạn chế của dãy số ta thực hiện theo một trong hai phương pháp sau:
Phương pháp 1
Đặt lim un = a. Từ lim u(n+1) = lim f(un) ta được một phương trình theo ẩn a.
Giải phương trình tìm nghiệm a và hạn chế của dãy (un) là một trong các nghiệm của phương rình. Nếu phương trình có nghiệm duy nhất thì đó chính là hạn chế cảu dãy cần tìm. còn nếu phương trình có nhiều hơn một nghiệm thì dựa vào tính chất của dãy số để loại nghiệm.
Note: Hạn chế của dãy số nếu có là duy nhất.
Phương pháp 2: Tìm công thức tổng quát un của dãy số bằng cách phán đoán. Minh chứng công thức tổng quát un bằng phương pháp quy nạp toán học. Tính hạn chế của dãy thông qua công thức tổng quát đó.
Tính hạn chế của hàm số
Để tính hạn chế của hàm số ta có thể thực hiện một số phương pháp như sau:
- Dùng khái niệm để tìm hạn chế
- Tìm hạn chế của hàm số bằng công thức
- Sử dụng khái niệm tìm hạn chế một bên
- Sử dụng định lí và công thức tìm giới hạn một bên
- Tính hạn chế vô cực
- Tìm hạn chế của hàm số dạng 0/0
- Dạng vô định
Dưới đây là một số công thức tính hàm số vô cùng cơ bản:
Cách tính lim trên máy tính
Bước 1: Trước tiên hãy nhập biểu thức vào máy tính
Bước 2: Sử dụng tính năng này là gán số tính giá trị biểu thức
Bước 3: Lưu ý gán các giá trị theo bên dưới:
+) Lim về vô cùng dương thì hãy gán số 100000
+) Lim về vô cùng âm thì hãy gán số -100000
+) Lim về 0 thì hãy gán số 0.00000001
+) Lim về số bất kì ví dụ như về +3 thì gán 3.000000001 còn về 3- thì gán 2.9999999999
Tính lim là một dạng bài tập khá cơ bản, tuy nhiên dạng toán này vẫn chiếm một vài câu trong đề thi trung học phổ thông quốc gia. Các bạn cần đảm bảo tính chuẩn xác khi làm. Đặc biệt có thể sử dụng máy tính Casio để có thể tính toán nhanh và chuẩn xác nhất.
CÁCH TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ NHƯ THẾ NÀO?
TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG XÁC ĐỊNH
Nếu hàm f(x) xác nhận tại điểm lấy hạn chế. Thì ta chỉ việc thay điểm đó vào biểu thức dưới dấu lim sẽ được kết quả cần tìm.
Ta chỉ việc thay x=2 vào biểu thức trong dấu lim ta được -1/4. Và đó chính là kết quả của hạn chế trên.
TÌM GIỚI HẠN HÀM SỐ DẠNG BẤT ĐỊNH
So với dạng bất định ta quan tâm tới một số dạng thường gặp như sau:
1. TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG 0 TRÊN 0
So với dạng 0 trên 0 ta lại chia làm 2 loại: Loại hạn chế không chứa căn và loại chứa căn.
Loại không chứa căn bao gồm các loại hạn chế đặc biệt và loại phân thức mà tử và mẫu là các đa thức.
Hạn chế đặc biệt dạng 0 trên 0 được đề cập đến trong chương trình phổ thông hiện tại là:
Cách tính hạn chế dạng 0 trên 0 loại đa thức trên đa thức thì ta phân tích thành nhân tử bằng lược đồ Hoocner.
Ta thấy x=1 là nghiệm của cả tử số và mẫu số. Ta dùng lược đồ Hoocner để phân tích tử số và mẫu số.
Còn để tính loại chứa căn ta thực hiện nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Với căn bậc 3 ta cũng làm tương tự.
Ta có:
Trong trường hợp hạn chế có cả căn bậc 2 và căn bậc 3 thì ta thêm bớt 1 lượng để mang về tổng hiệu của 2 hạn chế dạng 0 trên 0.
GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRÊN VÔ CÙNG
Với dạng hạn chế vô cùng trên vô cùng ta giải bằng cách chia cả tử và mẫu cho x với số mũ cao nhất của tử hoặc của mẫu. Lưu ý dạng này khi x tiến tới âm vô cùng tất cả chúng ta hay nhầm lẫn về dấu. Rõ ràng và cụ thể khi mang x vào trong căn bậc 2 ta cần để dấu – bên ngoài.
GIỚI HẠN DẠNG VÔ CÙNG TRỪ VÔ CÙNG
Với dạng vô cùng trừ vô cùng (vô cực trừ vô cực) ta thực hiện theo 2 phương pháp: Nhóm ẩn bậc cao nhất hoặc nhân liên hợp. Cách nào thuận tiện hơn ta tiến hành theo cách đó.
Trường hợp này tất cả chúng ta cần nhân liên hợp bởi vì nếu nhóm x thì sẽ lại mang về dạng bất định 0 nhân vô cùng.
Bài này giống bài trên đều là dạng vô cùng trừ vô cùng. Nhưng ta lại để ý là hệ số bậc cao nhất trong 2 căn là khác nhau. Vì vậy bài này tất cả chúng ta nên nhóm nhân tử chung.
GIỚI HẠN DẠNG 1 MŨ VÔ CÙNG
Với hạn chế dạng 1 mũ vô cùng ta tính thông qua hạn chế đặc biệt sau:
GIỚI HẠN DẠNG 0 NHÂN VÔ CÙNG
Về bản chất hạn chế dạng 0 nhân vô cùng có thể mang về dạng 0 trên 0 hoặc dạng vô cùng trên vô cùng qua 1 vài phép thay đổi theo lưu ý ở đầu nội dung này phần khái niệm. Với dạng hạn chế này tất cả chúng ta nên thay đổi về dạng xác nhận hoặc các dạng hạn chế vô định đã nêu ra ở trên. Tùy từng bài rõ ràng và cụ thể tất cả chúng ta cần thay đổi cho thích hợp.
Phân dạng và các phương pháp giải toán chuyên mục hạn chế
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
Dạng 1. Sử dụng khái niệm tìm hạn chế 0 của dãy số
Dạng 2. Sử dụng định lí để tìm hạn chế 0 của dãy số
Dạng 3. Sử dụng các hạn chế đặc biệt và các định lý để giải các bài toán tìm hạn chế dãy
Dạng 4. Sử dụng công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, tìm hạn chế, biểu thị một số thập phân vô hạn tuần hoàn thiện phân số
Dạng 5. Tìm hạn chế vô cùng của một dãy bằng khái niệm
Dạng 6. Tìm hạn chế của một dãy bằng cách sử dụng định lý, quy tắc tìm hạn chế vô cực
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}
BÀI 2. GIỚI HẠN HÀM SỐ
Dạng 1. Dùng khái niệm để tìm hạn chế
Dạng 2. Tìm hạn chế của hàm số bằng công thức
Dạng 3. Sử dụng khái niệm tìm hạn chế một bên
Dạng 4. Sử dụng định lý và công thức tìm hạn chế một bên
Dạng 5. Tính hạn chế vô cực
Dạng 6. Tìm hạn chế của hàm số thuộc dạng vô định 0/0
Dạng 7. Dạng vô định
Dạng 8. Dạng vô định
MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO {Tham khảo}
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0
Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng K
Dạng 4. Tìm điểm gián đoạn của hàm số f(x)
Dạng 5. Minh chứng phương trình f(x)=0 có nghiệm
MỘT SỐ BÀI TẬP LÝ THUYẾT {Tham khảo}
